Rechner für geometrische Folgen

Formel

n-tes Glied: aₙ = a₁ × r^(n − 1)

Summe der ersten n Glieder: Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), für r ≠ 1

Summe bis unendlich: S = a₁ ÷ (1 − r), nur für −1 < r < 1

So geht’s

Gib das erste Glied ein.
Gib den Quotienten ein – teile ein beliebiges Glied durch das davor.
Gib ein, welches Glied du möchtest, n.
Lies das n-te Glied, die Teilsumme und, falls sie existiert, die unendliche Summe ab.

Rechenbeispiele

3, 6, 12, 24 … das 8. Glied

n-tes Glied (aₙ): 384
Summe der ersten n Glieder (Sₙ): 765
Folge: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384

100, 50, 25 … sechs Glieder und die Summe bis unendlich

n-tes Glied (aₙ): 3,125
Summe der ersten n Glieder (Sₙ): 196,875
Summe bis unendlich: 200

Wann es eine unendliche Summe gibt

Liegt der Quotient zwischen −1 und 1, schrumpfen die Glieder gegen null, und die Summe pendelt sich auf einen endlichen Wert ein. 100 + 50 + 25 + … überschreitet nie 200. Dieselbe Formel zeigt, dass 0,999… = 0,9 ÷ (1 − 0,1) = 1.

Bei einem Quotienten von 1 oder mehr (oder −1 oder weniger) schrumpfen die Glieder nicht, und die Summe hat keinen Grenzwert.

Wie schnell sich Verdopplungen summieren

Ein Reiskorn auf dem ersten Feld eines Schachbretts, auf jedem der 64 Felder verdoppelt, ergibt insgesamt 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner. Ein negativer Quotient lässt die Vorzeichen der Glieder wechseln: 3, −6, 12, −24.

Häufige Fragen

Was ist das 8. Glied von 3, 6, 12, 24 …?

384. Mit dem ersten Glied 3 und dem Quotienten 2 ist a₈ = 3 × 2⁷.

Was ist die Summe der ersten 8 Glieder von 3, 6, 12, 24 …?

765, aus 3 × (2⁸ − 1) ÷ (2 − 1).

Was ist die Summe bis unendlich von 100, 50, 25 …?

200, aus 100 ÷ (1 − 0,5).