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Rechner für arithmetische Folgen
Eine arithmetische Folge steigt oder fällt in jedem Schritt um denselben Betrag. Gib das erste Glied, die Differenz und eine Gliednummer ein und erhalte dieses Glied, die Summe aller Glieder bis dahin, das Bildungsgesetz für das n-te Glied und die ersten Glieder der Folge.
- Summe der ersten n Glieder (Sₙ)
- 155
- Folge
- 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
- Bildungsgesetz für das n-te Glied
- aₙ = 3n - 1
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Formel
So geht’s
- Gib das erste Glied ein.
- Gib die Differenz ein – den Betrag, der in jedem Schritt addiert wird; negativ, wenn die Folge fällt.
- Gib ein, welches Glied du möchtest, n.
- Lies das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder ab.
Rechenbeispiele
2, 5, 8, 11 … das 10. Glied
- n-tes Glied (aₙ)
- 29
- Summe der ersten n Glieder (Sₙ)
- 155
- Folge
- 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
- Bildungsgesetz für das n-te Glied
- aₙ = 3n - 1
Die ganzen Zahlen von 1 bis 100 addieren
- n-tes Glied (aₙ)
- 100
- Summe der ersten n Glieder (Sₙ)
- 5.050
50, 46, 42 … das 12. Glied
- n-tes Glied (aₙ)
- 6
- Summe der ersten n Glieder (Sₙ)
- 336
- Bildungsgesetz für das n-te Glied
- aₙ = -4n + 54
Die Differenz finden
Ziehe ein beliebiges Glied von dem darauffolgenden ab: In 2, 5, 8, 11 beträgt die Differenz 3. Kennst du zwei Glieder, die nicht benachbart sind, teilst du den Unterschied der Werte durch den Unterschied der Positionen: Ein 3. Glied von 11 und ein 7. Glied von 27 ergeben d = (27 − 11) ÷ (7 − 3) = 4, also ist das erste Glied 3.
Warum die Summenformel funktioniert
Paare das erste Glied mit dem letzten, das zweite mit dem vorletzten und so weiter: Jedes Paar hat dieselbe Summe. Beim Addieren von 1 bis 100 entstehen 50 Paare mit der Summe 101, die Gesamtsumme ist also 5.050 – der Trick, der dem jungen Gauß zugeschrieben wird.
Häufige Fragen
Was ist das 10. Glied von 2, 5, 8, 11 …?
29. Mit dem ersten Glied 2 und der Differenz 3 ist a₁₀ = 2 + 9 × 3.
Was ist die Summe der ganzen Zahlen von 1 bis 100?
5.050, aus 100 × (1 + 100) ÷ 2.
Was ist der Unterschied zwischen einer arithmetischen und einer geometrischen Folge?
Eine arithmetische Folge addiert in jedem Schritt einen festen Betrag (2, 5, 8, 11); eine geometrische Folge multipliziert mit einem festen Quotienten (3, 6, 12, 24).