Калькулятор биномиального распределения

Формула

P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)^(n − k)

P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)

P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)

Среднее = n × p; стандартное отклонение = √(n × p × (1 − p))

Как пользоваться

Введите число испытаний n.
Введите вероятность успеха в одном испытании десятичной дробью — 0,25 для 25%.
Введите число успехов k.
Выберите строку, которая отвечает вашему вопросу: ровно k, не больше k, не меньше k, меньше k или больше k.

Примеры расчётов

Ровно 3 орла в 10 бросках честной монеты

P(X = k) — ровно k: 0,117188
P(X ≤ k) — не больше k: 0,171875
P(X ≥ k) — не меньше k: 0,945313
Среднее (n × p): 5
Стандартное отклонение: 1,5811

Две бракованные детали в партии из 20, если брак составляет 10%

P(X = k) — ровно k: 0,28518
P(X ≤ k) — не больше k: 0,676927
P(X ≥ k) — не меньше k: 0,608253
Среднее (n × p): 2

Когда применимо биномиальное распределение

Нужны четыре условия: фиксированное число испытаний, только два исхода в каждом, одна и та же вероятность успеха каждый раз и независимость испытаний друг от друга. Под это подходят броски монеты, штрафные броски при стабильной результативности и проверка брака на большой партии.

Пример расчёта

Ровно 3 орла в 10 бросках честной монеты: C(10, 3) = 120 способов, у каждого вероятность (1/2)¹⁰ = 1/1024, итого 120/1024 = 0,1172. Для «не больше 3 орлов» добавляются случаи с 0, 1 и 2 орлами: (1 + 10 + 45 + 120)/1024 = 0,1719.

Здесь результаты складываются слагаемое за слагаемым, а не приближаются нормальной кривой, — для числа испытаний до 100 000. На калькуляторах TI те же значения дают binompdf(n, p, k) и binomcdf(n, p, k).

Частые вопросы

Какова вероятность ровно 3 орлов в 10 бросках монеты?

11,72% (0,117188).

Какова вероятность не менее 3 орлов в 10 бросках?

94,53% (0,945313) — это 1 минус вероятность 0, 1 или 2 орлов.

Если брак составляет 10%, какова вероятность ровно 2 бракованных изделий из 20?

28,52%. Вероятность двух и менее — 67,69%.