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Calculateur de loi binomiale

Trouvez la probabilité d’obtenir un nombre donné de succès sur un nombre fixé d’épreuves indépendantes. Saisissez le nombre d’épreuves, la chance de succès à chacune et le nombre de succès pour obtenir la probabilité exacte et les quatre probabilités cumulées, avec toute la distribution dans un tableau.

Exemples rapides

Sous forme décimale entre 0 et 1 : saisissez 0,25 pour 25 %.

Vos chiffres restent dans votre navigateur. Rien n’est envoyé.
P(X = k) exactement k0,117188
P(X ≤ k) au plus k
0,171875
P(X ≥ k) au moins k
0,945313
P(X < k) moins de k
0,054688
P(X > k) plus de k
0,828125
Espérance (n × p)
5
Écart type
1,5811

Distribution complète

kP(X = k)P(X ≤ k)

Configurations enregistrées

Enregistrez un jeu de valeurs que vous réutilisez (votre taux habituel, votre prêt, les dimensions de vos pièces) et rechargez-le d’un seul geste.

    Vos derniers calculs

    Les résultats que vous calculez ici sont conservés sur cet appareil pour que vous puissiez y revenir.

      Formule

      P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)^(n − k)
      P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)
      P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
      Espérance = n × p ; écart type = √(n × p × (1 − p))

      Mode d’emploi

      1. Saisissez le nombre d’épreuves, n.
      2. Saisissez la probabilité de succès à une épreuve sous forme décimale : 0,25 pour 25 %.
      3. Saisissez le nombre de succès, k.
      4. Choisissez la ligne qui correspond à votre question : exactement k, au plus k, au moins k, moins de k ou plus de k.

      Exemples de calcul

      Exactement 3 faces en 10 lancers d’une pièce équilibrée

      P(X = k) exactement k
      0,117188
      P(X ≤ k) au plus k
      0,171875
      P(X ≥ k) au moins k
      0,945313
      Espérance (n × p)
      5
      Écart type
      1,5811

      Deux pièces défectueuses dans un lot de 20 quand 10 % sont défectueuses

      P(X = k) exactement k
      0,28518
      P(X ≤ k) au plus k
      0,676927
      P(X ≥ k) au moins k
      0,608253
      Espérance (n × p)
      2

      Quand la loi binomiale s’applique

      Il faut quatre conditions : un nombre fixe d’épreuves, seulement deux issues par épreuve, la même probabilité de succès à chaque fois et des épreuves qui ne s’influencent pas. Les lancers de pièce, les lancers francs avec un taux de réussite stable et les contrôles de défauts sur une grande série de production y répondent.

      Un exemple détaillé

      Exactement 3 faces sur 10 lancers équilibrés : C(10, 3) = 120 façons, chacune de probabilité (1/2)¹⁰ = 1/1 024, donc 120/1 024 = 0,1172. Au plus 3 faces ajoute les cas de 0, 1 et 2 : (1 + 10 + 45 + 120)/1 024 = 0,1719.

      Les résultats sont ici additionnés terme à terme plutôt qu’approchés par une courbe normale, jusqu’à 100 000 épreuves. Sur une calculatrice TI, les mêmes valeurs s’obtiennent avec binompdf(n, p, k) et binomcdf(n, p, k).

      Questions fréquentes

      Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 faces en 10 lancers ?

      11,72 % (0,117188).

      Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 3 faces en 10 lancers ?

      94,53 % (0,945313), soit 1 moins la chance d’avoir 0, 1 ou 2 faces.

      Si 10 % des pièces sont défectueuses, quelle est la chance d’en avoir exactement 2 sur 20 ?

      28,52 %. La chance d’en avoir 2 ou moins est de 67,69 %.

      Calculateurs associés

      Calculateur de loi de PoissonProbabilité de k événements quand le taux moyen est λ.Calculateur de combinaisonsnCr : le nombre de façons de choisir r éléments parmi n quand l’ordre ne compte pas.Calculateur de probabilitéDeux événements indépendants : les deux, l’un ou l’autre, aucun, exactement un.Calculateur d’espéranceEspérance, variance et écart type d’un ensemble d’issues.Calculateur de score zScore z à partir d’une valeur, ou score z et valeur à partir d’un percentile.