Калькулятор z-оценки

Формула

z = (x − μ) ÷ σ

x = μ + z × σ

Процентиль = Φ(z) × 100, где Φ — функция стандартного нормального распределения

Как пользоваться

Выберите, с чего начинаете: с исходного балла или с процентиля.
Введите среднее и стандартное отклонение распределения.
Введите балл или процентиль.
Посмотрите z-оценку, долю значений ниже и долю выше.

Примеры расчётов

Балл 85 при среднем 70 и стандартном отклонении 10

Z-оценка: 1,5
Процентиль (доля ниже): 93,3193%
Доля выше: 6,6807%

IQ 130 (среднее 100, σ 15)

Z-оценка: 2
Процентиль (доля ниже): 97,725%

95-й процентиль баллов IQ

Z-оценка: 1,6449
Исходное значение: 124,6728

Опорные значения

z = −2 соответствует 2,28-му процентилю, −1 — 15,87-му, 0 — 50-му, 1 — 84,13-му, 1,645 — 95-му, 1,96 — 97,5-му, 2 — 97,72-му, 2,326 — 99-му, а 3 — 99,87-му.

Z-оценка от −1 до 1 попадает в серединные 68% нормального распределения; значения за пределами ±2 необычны, а за пределами ±3 — редки.

Допущения и точность

Сама по себе z-оценка не требует никаких допущений, но перевод её в процентиль предполагает, что данные подчиняются нормальному (колоколообразному) распределению. Для скошенных данных процентиль получится неточным.

Нормальная кривая вычисляется через ряд для функции ошибок и цепную дробь в «хвостах», что совпадает с эталонными значениями примерно до 12 значащих цифр. Процентили превращаются обратно в z-оценки методом Ньютона для той же функции.

Частые вопросы

Чему равна z-оценка балла 85, если среднее равно 70, а стандартное отклонение — 10?

1,5. Это 93,32-й процентиль, то есть примерно 6,68% значений выше.

Какой z-оценке соответствует 95-й процентиль?

1,645. Для баллов IQ (среднее 100, стандартное отклонение 15) это около 124,7.

Какому процентилю соответствует IQ 130?

Примерно 97,7-му. IQ 130 на два стандартных отклонения выше среднего, то есть z-оценка равна 2.