keencalculator
  1. Strona główna
  2. Matematyka
  3. Kalkulator równania kwadratowego

Kalkulator równania kwadratowego

Rozwiąż dowolne równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Wpisz trzy współczynniki, aby dostać oba rozwiązania — rzeczywiste lub zespolone — wraz z wyróżnikiem (deltą), rodzajem pierwiastków i wierzchołkiem paraboli.

Szybkie przykłady

Nie może być równe 0 — wtedy byłoby to równanie liniowe.

Twoje liczby zostają w przeglądarce. Nic nie jest wysyłane.
Rozwiązaniax = 3 lub x = 2
x₁
3
x₂
2
Wyróżnik Δ (b² − 4ac)
1
Rodzaj pierwiastków
Dwa różne pierwiastki rzeczywiste
Wierzchołek
(2.5, -0.25)

Zapisane ustawienia

Zapisz zestaw danych, których często używasz – swoją stawkę, kredyt, wymiary pokoi – i wczytaj go jednym kliknięciem.

    Twoje ostatnie obliczenia

    Wyniki, które tu obliczysz, są zapisywane na tym urządzeniu, żeby można było do nich wrócić.

      Wzór

      x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
      Wyróżnik D = b² − 4ac (w polskich podręcznikach Δ)
      Wierzchołek = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)

      Jak z tego korzystać

      1. Przekształć równanie tak, aby jedna strona była równa zeru: ax² + bx + c = 0.
      2. Wpisz a, b i c, zachowując ich znaki. Dla brakującego wyrazu wpisz 0.
      3. Odczytaj rozwiązania. Wiersz z wyróżnikiem tłumaczy, dlaczego są dwa, jedno lub brak pierwiastków rzeczywistych.

      Przykłady obliczeń

      x² − 5x + 6 = 0

      Rozwiązania
      x = 3 lub x = 2
      Wyróżnik Δ (b² − 4ac)
      1
      Rodzaj pierwiastków
      Dwa różne pierwiastki rzeczywiste
      Wierzchołek
      (2.5, -0.25)

      x² − 4x + 13 = 0, bez rozwiązań rzeczywistych

      Rozwiązania
      x = 2 + 3i lub x = 2 - 3i
      Wyróżnik Δ (b² − 4ac)
      -36
      Wierzchołek
      (2, 9)

      x² + 6x + 9 = 0

      Rozwiązania
      x = -3 (pierwiastek podwójny)
      Wyróżnik Δ (b² − 4ac)
      0

      Co mówi wyróżnik

      Jeśli D jest dodatni, są dwa różne rozwiązania rzeczywiste, a parabola przecina oś x dwukrotnie. Jeśli D wynosi zero, jest jedno podwójne rozwiązanie, a parabola tylko dotyka osi w wierzchołku. Jeśli D jest ujemny, nie ma rozwiązań rzeczywistych; oba pierwiastki są sprzężonymi liczbami zespolonymi p ± qi, gdzie p = −b ÷ 2a i q = √(−D) ÷ 2a.

      Przykład i szybkie sprawdzenie

      Dla x² − 5x + 6 = 0: D = 25 − 24 = 1, więc x = (5 ± 1) ÷ 2, co daje x = 3 i x = 2.

      Aby sprawdzić dowolny wynik, oba pierwiastki muszą w sumie dawać −b ÷ a, a w iloczynie c ÷ a. Tutaj 3 + 2 = 5 i 3 × 2 = 6.

      Najczęstsze pytania

      Jakie są rozwiązania równania x² − 5x + 6 = 0?

      x = 3 i x = 2. Równanie rozkłada się na (x − 3)(x − 2) = 0.

      Co się dzieje, gdy wyróżnik jest ujemny?

      Nie ma rozwiązań rzeczywistych, jest tylko para zespolonych. Dla x² − 4x + 13 = 0 wyróżnik wynosi −36, a rozwiązania to x = 2 + 3i i x = 2 − 3i.

      Dlaczego a nie może być zerem?

      Przy a = 0 wyraz x² znika i równanie jest liniowe, bx + c = 0, z jednym rozwiązaniem x = −c ÷ b. Wzór na pierwiastki dzieliłby przez zero.

      Podobne kalkulatory

      Kalkulator postaci kanonicznejZamień y = ax² + bx + c na postać kanoniczną i znajdź wierzchołek.Kalkulator pierwiastka kwadratowegoPierwiastek kwadratowy dowolnej liczby i jego uproszczona postać.Kalkulator postaci kierunkowej prostejZapisz prostą jako y = mx + b z dwóch punktów albo punktu i nachylenia.Kalkulator potęgPodnieś dowolną podstawę do dowolnej potęgi — także ujemnej i ułamkowej.Kalkulator mnożenia na krzyżRozwiąż a/b = c/x mnożeniem na krzyż, z pokazanym tokiem obliczeń.