一元二次方程式計算機
解任何一元二次方程式 ax² + bx + c = 0。輸入三個係數，就能得到兩個解——實數或複數——以及判別式、根的類型與拋物線的頂點。
- x₁
- 3
- x₂
- 2
- 判別式（b² − 4ac）
- 1
- 根的類型
- 兩個相異實根
- 頂點
- (2.5, -0.25)
已儲存的設定
把常用的輸入存起來——你的時薪、你的貸款、你家的房間尺寸——下次點一下就能載入。
你最近的計算
你在這裡算過的結果會保存在這台裝置上，方便之後回來查看。
公式
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
判別式 D = b² − 4ac
頂點 = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)
使用方式
- 把方程式整理成一邊為零的形式：ax² + bx + c = 0。
- 輸入 a、b、c，記得保留正負號。缺少的項輸入 0。
- 查看解。判別式一欄會告訴你為什麼有兩個、一個或沒有實根。
計算範例
x² − 5x + 6 = 0
- 解
- x = 3 或 x = 2
- 判別式（b² − 4ac）
- 1
- 根的類型
- 兩個相異實根
- 頂點
- (2.5, -0.25)
x² − 4x + 13 = 0，沒有實數解
- 解
- x = 2 + 3i 或 x = 2 - 3i
- 判別式（b² − 4ac）
- -36
- 頂點
- (2, 9)
x² + 6x + 9 = 0
- 解
- x = -3（重根）
- 判別式（b² − 4ac）
- 0
判別式告訴你什麼
D 為正時，有兩個相異實根，拋物線與 x 軸交於兩點。D 為零時，有一個重根，拋物線在頂點處剛好碰到 x 軸。D 為負時，沒有實數解；兩個根是共軛複數 p ± qi，其中 p = −b ÷ 2a，q = √(−D) ÷ 2a。
實際算一次與快速驗算
以 x² − 5x + 6 = 0 為例：D = 25 − 24 = 1，所以 x = (5 ± 1) ÷ 2，得到 x = 3 和 x = 2。
任何答案都可以這樣驗算：兩根之和必須等於 −b ÷ a，兩根之積必須等於 c ÷ a。這裡 3 + 2 = 5，3 × 2 = 6。
常見問題
x² − 5x + 6 = 0 的解是什麼？
x = 3 和 x = 2。這個方程式可以因式分解成 (x − 3)(x − 2) = 0。
判別式為負時會怎樣？
沒有實數解，只有一對複數解。以 x² − 4x + 13 = 0 為例，判別式是 −36，解是 x = 2 + 3i 和 x = 2 − 3i。
為什麼 a 不能是零？
a = 0 時 x² 項消失，方程式變成一次方程式 bx + c = 0，只有一個解 x = −c ÷ b。這時公式解會除以零。