근의 공식 계산기

공식

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

판별식 D = b² − 4ac

꼭짓점 = (−b ÷ 2a, c − b² ÷ 4a)

사용 방법

한쪽이 0이 되도록 방정식을 정리하세요: ax² + bx + c = 0.
a, b, c를 부호까지 그대로 입력하세요. 없는 항은 0으로 입력합니다.
해를 확인하세요. 판별식 항목에서 실근이 두 개, 한 개, 없음인 이유를 알 수 있습니다.

계산 예시

x² − 5x + 6 = 0

해: x = 3 또는 x = 2
판별식 (b² − 4ac): 1
근의 종류: 서로 다른 두 실근
꼭짓점: (2.5, -0.25)

x² − 4x + 13 = 0, 실근이 없는 경우

해: x = 2 + 3i 또는 x = 2 - 3i
판별식 (b² − 4ac): -36
꼭짓점: (2, 9)

x² + 6x + 9 = 0

해: x = -3 (중근)
판별식 (b² − 4ac): 0

판별식이 알려 주는 것

D가 양수이면 서로 다른 두 실근이 있고 포물선이 x축과 두 점에서 만납니다. D가 0이면 중근 하나가 있고 포물선이 꼭짓점에서 x축에 닿기만 합니다. D가 음수이면 실근이 없고, 두 근은 켤레 복소수 p ± qi입니다. 여기서 p = −b ÷ 2a, q = √(−D) ÷ 2a입니다.

풀이 예시와 빠른 검산

x² − 5x + 6 = 0의 경우: D = 25 − 24 = 1이므로 x = (5 ± 1) ÷ 2이고 x = 3, x = 2입니다.

답을 검산하려면 두 근의 합은 −b ÷ a, 곱은 c ÷ a여야 합니다. 여기서는 3 + 2 = 5, 3 × 2 = 6입니다.

자주 묻는 질문

x² − 5x + 6 = 0의 해는 무엇인가요?

x = 3과 x = 2입니다. 이 방정식은 (x − 3)(x − 2) = 0으로 인수분해됩니다.

판별식이 음수이면 어떻게 되나요?

실근은 없고 복소수 해 한 쌍만 있습니다. x² − 4x + 13 = 0의 판별식은 −36이고 해는 x = 2 + 3i와 x = 2 − 3i입니다.

a는 왜 0이 될 수 없나요?

a = 0이면 x² 항이 사라져서 일차방정식 bx + c = 0이 되고, 해는 x = −c ÷ b 하나뿐입니다. 근의 공식은 0으로 나누게 됩니다.

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