掷硬币几率计算器
这是几率计算器，不是虚拟硬币：它算的是连续掷很多次时，某个结果有多大的机会。输入掷几次与正面次数，就能得到刚好、至少或至多出现这么多次正面的几率，公正或不公正的硬币都能算，并附上列出所有结果的表格。
- 约几分之一
- 1 ／ 4.1
- 正面次数的期望值
- 5
- 标准差
- 1.58
- 每一次都同一面的几率
- 0.2%
每种正面次数的几率
| 正面次数 | 刚好 | 至少 | 至多 |
|---|
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你最近的计算
你在这里算过的结果会保存在这台设备上，方便之后回来查看。
公式
P（n 次中刚好 k 次正面）= C(n, k) × pᵏ ×（1 − p）ⁿ⁻ᵏ
C(n, k) = n! ÷（k! ×（n − k）!）
正面次数的期望值 = n × p
标准差 = √（n × p ×（1 − p））
使用方式
- 输入掷几次，最多 500 次。
- 选择刚好、至少或至多。
- 输入你想问的正面次数。
- 公正的硬币把正面几率留在 50%；不公正的硬币就改掉。
计算范例
公正硬币掷 10 次刚好 5 次正面（1,024 种串行中的 252 种）
- 几率
- 24.61%
- 约几分之一
- 1 ／ 4.1
- 正面次数的期望值
- 5
- 标准差
- 1.58
掷 10 次至少 8 次正面（1,024 种串行中的 45 + 10 + 1 = 56 种）
- 几率
- 5.47%
- 约几分之一
- 1 ／ 18.3
连续三次正面
- 几率
- 12.5%
- 约几分之一
- 1 ／ 8
- 每一次都同一面的几率
- 25%
正面几率 60% 的硬币掷 5 次，至少 4 次正面
- 几率
- 33.7%
- 正面次数的期望值
- 3
- 标准差
- 1.1
为什么刚好一半并不那么常见
大家以为掷十次会有五次正面，但这种情况只有 24.6%——1,024 种可能串行中的 252 种。出现 4、5 或 6 次正面合计占 65.6%。掷的次数越多，刚好五五分的几率越小：掷 100 次，刚好 50 次正面只有 8% 的几率。
随着次数增加而收敛的是比例。掷 100 次，大约 95% 的情况下正面会落在 40 到 60 次之间。
连续出现与赌徒谬误
每次都是正面的几率，每多掷一次就减半：连续 3 次是 12.5%（八分之一），连续 5 次是 3.1%（32 分之 1），连续 10 次是 0.098%（1,024 分之 1）。
但硬币没有记忆。连续九次正面之后，第十次仍然是五五波。认为反面「该来了」就是赌徒谬误；那么低的几率是针对开始之前的整串结果，不是针对下一次。
二项分布
掷硬币是二项试验的经典例子：固定次数的独立试验，每次都只有同样的两种结果、同样的几率。这表示这个计算器也能回答和硬币无关的问题——把「正面」的几率设成任何成功率就行，例如命中率 60% 的射手 5 次罚球至少进 4 球的几率（33.7%）。
常见问题
掷 10 次出现 5 次正面的几率是多少？
24.61%——1,024 种几率相同的串行中的 252 种。
连续 10 次正面的几率是多少？
1,024 分之 1，大约 0.098%。
掷 10 次至少 8 次正面的几率是多少？
5.47%。出现八次有 45 种、九次有 10 种、十次有 1 种：1,024 种里的 56 种。
连续掷出五次正面后，下一次比较容易是反面吗？
不会。公正的硬币每一次都是五五波，和之前的结果无关。