コイントスの確率計算

計算式

P(n回投げてちょうどk回が表) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)

表の回数の期待値 = n × p

標準偏差 = √(n × p × (1 − p))

使い方

投げる回数を500回までで入力します。
ちょうど、以上、以下のいずれかを選びます。
知りたい表の回数を入力します。
公平なコインなら表の確率は50%のままにし、偏りのあるコインなら変更します。

計算例

公平なコインを10回投げて、ちょうど5回が表（1,024通りのうち252通り）

確率: 24.61%
○分の1で表すと: 4.1分の1
表の回数の期待値: 5
標準偏差: 1.58

10回投げて表が8回以上（1,024通りのうち45 + 10 + 1 = 56通り）

確率: 5.47%
○分の1で表すと: 18.3分の1

3回連続で表

確率: 12.5%
○分の1で表すと: 8分の1
すべて同じ面になる確率: 25%

表が出る確率60%のコインを5回投げて、表が4回以上

確率: 33.7%
表の回数の期待値: 3
標準偏差: 1.1

ちょうど半々になる確率が、意外と低い理由

10回投げれば表が5回出ると思いがちですが、それが起こるのは24.6%、つまり1,024通りの並びのうち252通りだけです。表が4回、5回、6回のいずれかなら、65.6%になります。回数が増えるほど、ぴったり半々になる確率は下がります。100回投げて、ちょうど50回が表になるのは、わずか8%です。

回数を増やすと狭まるのは割合のほうです。100回投げたとき、約95%の確率で、表は40回から60回の間に収まります。

連続と「ギャンブラーの誤謬」

すべて表になる確率は、1回増えるごとに半分になります。3回連続は12.5%（8分の1）、5回連続は3.1%（32分の1）、10回連続は0.098%（1,024分の1）です。

しかしコインは過去を覚えていません。表が9回続いた後でも、10回目はやはり50%です。裏が「そろそろ出る」と思うのは、ギャンブラーの誤謬です。低い確率は、連続が始まる前の全体に当てはまるもので、次の1回には当てはまりません。

二項分布

コイン投げは二項分布の古典的な例です。回数が決まっていて、それぞれが独立していて、結果は2通りで、確率も毎回同じ、という試行です。そのため、この計算ツールは、コインとは関係のない問題にも使えます。「表」の確率を、任意の成功率に設定してください。たとえば、成功率60%のシューターがフリースロー5本のうち4本以上を決める確率は33.7%です。

よくある質問

10回投げて、ちょうど5回表が出る確率は？

24.61%です。同じ確率で起こる1,024通りの並びのうち、252通りです。

10回連続で表が出る確率は？

1,024分の1、つまり約0.098%です。

10回投げて表が8回以上出る確率は？

5.47%です。8回は45通り、9回は10通り、10回は1通りで、1,024通りのうち56通りになります。

表が5回連続で出たら、次は裏が出やすくなりますか？

いいえ。公平なコインは、それまでの結果にかかわらず、毎回50%です。