Z 分數計算機
z 分數表示一個數值距離平均數幾個標準差。輸入原始分數、平均數與標準差，就能得到 z 分數與百分位數；也可以切換模式，把百分位數換回 z 分數與原始分數。
- 百分位數（低於的比例）
- 93.3193%
- 高於的比例
- 6.6807%
- 原始分數
- 85
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公式
z = (x − μ) ÷ σ
x = μ + z × σ
百分位數 = Φ(z) × 100，其中 Φ 是標準常態分布的累積分布函數
使用方式
- 選擇你是從原始分數還是從百分位數開始。
- 輸入分布的平均數與標準差。
- 輸入分數或百分位數。
- 查看 z 分數、低於它的比例，以及高於它的比例。
計算範例
平均數 70、標準差 10 時的 85 分
- Z 分數
- 1.5
- 百分位數（低於的比例）
- 93.3193%
- 高於的比例
- 6.6807%
智商 130（平均 100、標準差 15）
- Z 分數
- 2
- 百分位數（低於的比例）
- 97.725%
智商分數的第 95 百分位數
- Z 分數
- 1.6449
- 原始分數
- 124.6728
參考數值
z = −2 是第 2.28 百分位數，−1 是第 15.87，0 是第 50，1 是第 84.13，1.645 是第 95，1.96 是第 97.5，2 是第 97.72，2.326 是第 99，3 是第 99.87。
z 分數介於 −1 與 1 之間，表示落在常態分布中間的 68% 之內；超過 ±2 算是不尋常，超過 ±3 則很罕見。
假設與精確度
z 分數本身不需要任何假設，但把它換算成百分位數時，是假設資料服從常態（鐘形）分布。對偏態的資料來說，百分位數會不準。
常態曲線是用誤差函數的級數計算，尾端則用連分數，與參考值相符到大約 12 位有效數字。百分位數是對同一個函數用牛頓法換回 z 分數。
常見問題
平均數 70、標準差 10 時，85 分的 z 分數是多少？
1.5。這是第 93.32 百分位數，所以大約有 6.68% 的數值比它高。
第 95 百分位數的 z 分數是多少？
1.645。以智商分數（平均數 100、標準差 15）來說，大約是 124.7 分。
智商 130 是第幾百分位數？
大約是第 97.7 百分位數。智商 130 比平均數高兩個標準差，z 分數是 2。