Z 分数计算器
z 分数表示一个数值距离平均数几个标准差。输入原始分数、平均数与标准差，就能得到 z 分数与百分位数；也可以切换模式，把百分位数换回 z 分数与原始分数。
- 百分位数（低于的比例）
- 93.3193%
- 高于的比例
- 6.6807%
- 原始分数
- 85
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公式
z = (x − μ) ÷ σ
x = μ + z × σ
百分位数 = Φ(z) × 100，其中 Φ 是标准常态分布的累积分布函数
使用方式
- 选择你是从原始分数还是从百分位数开始。
- 输入分布的平均数与标准差。
- 输入分数或百分位数。
- 查看 z 分数、低于它的比例，以及高于它的比例。
计算范例
平均数 70、标准差 10 时的 85 分
- Z 分数
- 1.5
- 百分位数（低于的比例）
- 93.3193%
- 高于的比例
- 6.6807%
智商 130（平均 100、标准差 15）
- Z 分数
- 2
- 百分位数（低于的比例）
- 97.725%
智商分数的第 95 百分位数
- Z 分数
- 1.6449
- 原始分数
- 124.6728
参考数值
z = −2 是第 2.28 百分位数，−1 是第 15.87，0 是第 50，1 是第 84.13，1.645 是第 95，1.96 是第 97.5，2 是第 97.72，2.326 是第 99，3 是第 99.87。
z 分数介于 −1 与 1 之间，表示落在常态分布中间的 68% 之内；超过 ±2 算是不寻常，超过 ±3 则很罕见。
假设与精确度
z 分数本身不需要任何假设，但把它换算成百分位数时，是假设数据服从常态（钟形）分布。对偏态的数据来说，百分位数会不准。
常态曲线是用误差函数的级数计算，尾端则用连分数，与参考值相符到大约 12 位有效数字。百分位数是对同一个函数用牛顿法换回 z 分数。
常见问题
平均数 70、标准差 10 时，85 分的 z 分数是多少？
1.5。这是第 93.32 百分位数，所以大约有 6.68% 的数值比它高。
第 95 百分位数的 z 分数是多少？
1.645。以智商分数（平均数 100、标准差 15）来说，大约是 124.7 分。
智商 130 是第几百分位数？
大约是第 97.7 百分位数。智商 130 比平均数高两个标准差，z 分数是 2。