点估计计算器
点估计是对母体比例所做的单一最佳猜测。输入成功次数与试验次数，就能得到最大概似估计，以及三种在小样本时表现更好的调整估计——威尔逊（Wilson）、杰佛瑞斯（Jeffreys）与拉普拉斯（Laplace）。
- 威尔逊估计
- 0.4037
- 杰佛瑞斯估计
- 0.401
- 拉普拉斯估计
- 0.402
- 临界值（z*）
- 1.96
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公式
最大概似估计 = x ÷ n
威尔逊估计 = (x + z² ÷ 2) ÷ (n + z²)
杰佛瑞斯估计 = (x + 0.5) ÷ (n + 1)
拉普拉斯估计 = (x + 1) ÷ (n + 2)
x = 成功次数，n = 试验次数，z = 信赖水准对应的临界值
使用方式
- 输入观察到的成功次数。
- 输入总试验次数。
- 选择信赖水准；它只会影响威尔逊估计。
- 查看各种估计值，选择适合你样本大小的那一个。
计算范例
100 次试验中成功 40 次，95% 信赖水准
- 最大概似估计（x ÷ n）
- 0.4
- 威尔逊估计
- 0.4037
- 杰佛瑞斯估计
- 0.401
- 拉普拉斯估计
- 0.402
- 临界值（z*）
- 1.96
10 次试验中成功 3 次
- 最大概似估计（x ÷ n）
- 0.3
- 威尔逊估计
- 0.3555
- 杰佛瑞斯估计
- 0.3182
- 拉普拉斯估计
- 0.3333
20 次试验中没有任何一次成功
- 最大概似估计（x ÷ n）
- 0
- 威尔逊估计
- 0.0806
- 杰佛瑞斯估计
- 0.0238
- 拉普拉斯估计
- 0.0455
为什么估计值不只一种
最大概似估计就是单纯的样本比例，样本很大时用它最合适。数据很少时它可能很极端：20 次试验中 0 次成功，估计值刚好是 0，但这件事显然不是不可能发生。
另外三种估计会加入假想的观测值，把估计值往 50% 拉。拉普拉斯估计加上一次成功和一次失败。杰佛瑞斯估计各加半次。威尔逊估计加上 z² ÷ 2 次成功和 z² 次试验——在 95% 信赖水准下大约是 2 和 4。以 20 次中 0 次为例，三者分别是 0.045、0.024 和 0.081。
样本很大时结果一致
试验次数愈多，这些调整就愈不重要。1,000 次试验中成功 485 次时，四种估计值四舍五入后都是 0.485。点估计也没有说明它自己的不确定性；请搭配误差范围或信赖区间一起使用。
常见问题
100 次试验中成功 40 次的点估计是多少？
最大概似估计是 0.40。95% 信赖水准下的威尔逊估计是 0.4037。
什么是点估计？
用来估计未知母体数值的单一数字，例如以样本比例代表真正的比例。区间估计则是给出一个范围。
该用哪一种点估计？
样本很大时，用最大概似估计 x ÷ n。样本很小，或是完全没有成功、完全没有失败时，调整过的估计比较合理。